Cho(O,R), dây AB=24cm, AC=20cm ( góc BAC<90o và điểm O nằm trong góc BAC). Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8cm
a) C/m: tam giác ABC cân tại C
b) Tính R
Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24cm, dây AC = 20cm ($\widehat{BAC}<{90}^\circ$ và O nằm trong góc BAC). Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8cm. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C và tìm bán kính của đường tròn.
a tgABC can tai c,b oc=12,5
Trên BC lấy I sao cho IC=IB
Ta có AM=MC=AC/2=20/2= 10 cm
Từ M kẻ MH vuông góc AB. Theo gt, ta được MH=8 cm
Áp dụng Pytago trong tam giác vuông AMH: AH2= AM2 - MH2 = 102 - 82= 36 ----> AH=6 cm
có AM=MC ; IB=IC ---> MI=1/2AB=1/2 .24 =12 cm( đường TB)
Từ I kẻ IK vuông góc AB
có MI// AB( MI là đường trung bình) ; IK//MK (cùng vuông góc AB)
---> MIKH là hình bình hành
---> MI=HK=12 cm; MH=IK=8 cm
BK= AB-AH-HK = 24-6-12=6 cm
Xét tam giác AMH và tam giác BIK:
AH=BK=6
góc AHM= góc BKI= 90O
MH=IK=8
----> tam giác AMH=tam giác BIK(c.g.c)
----> góc MAH= góc IBK (cặp góc tương ứng) hay góc CAB= góc CBA
----> tam giác ABC cân tại C
b) có AM=MC=AC/2=10 cm ; IB=IC= BC/2 ; mà AC=BC (tam giáccân)
----> AM=MC=IB=IC=10 cm
Kéo dài CO cắt AB tại D
tam giác AOC có OA=OC (bán kính) --> tam giác AOC cân tại O
có OM là trung tuyến ---> OM vuông góc AC hay góc OMC=90o
Tương tự với tam giác OCB được OI vuông góc BC hay góc OIC=90o
Xét tam giác vuông OMC và tam giác vuông OIC:
MC=IC=10cm
OC cạnh chung
--->tam giác OMC = tam giác OIC (ch.cgv)
--> góc MCO= góc ICO ---> CO hay CD là phân giác góc ACB của tam giác cân ABC --->
CD vuông góc AB hay góc ADC=90oAD=BD=AB/2 = 12 cm
Theo Pytago trong tam giác ACD: CD2= AC2-AD2 = 202-122 =256 ---> CD=16 cm
Đặt OC=OA=X --> OD= CD-OC = 16 - X
Theo Pytago tam giác AOD: AO2= OD2+AD2
<-->X2= (16-X)2 + 122
<--> 162 -32X + X2 +122 - X2=0
<--> 400 - 32X=0
<--> X= -400/-32= 12,5 cm
Vậy bán kính đường tròn bằng 12,5 cm
a) Kẻ MH \bot AB.
Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK \bot AB.
Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.
Do AK = \frac{1}{2}AB
Cho đường tròn (O), dây AB=24cm, dây AC=20cm, góc BAC < 90 độ và điểm O nằm trong
tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8cm.
a. Chứng minh tam giác ABC cân tại C
b. Tính bán kính đường tròn.
\(AM=\dfrac{1}{2}AC=10\left(cm\right)\)
Kẻ \(MD\perp AB\Rightarrow MD=8\left(cm\right)\)
Kẻ \(CH\perp AB\Rightarrow MD||CH\Rightarrow\) MD là đường trung bình tam giác ACH
\(\Rightarrow MD=\dfrac{1}{2}CH\Rightarrow CH=2MD=16\left(cm\right)\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ACH:
\(AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=12\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow H\) đồng thời là trung điểm AB
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C
b.
Do tam giác ABC cân tại C \(\Rightarrow O\in CH\)
Kéo dài CH cắt đường tròn tại E (E khác C) \(\Rightarrow CE\) là đường kính
\(\Rightarrow\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay tam giác CAE vuông tại A
Áp dụng hệ thức lượng:
\(AC^2=CH.CE\Rightarrow CE=\dfrac{AC^2}{CH}=25\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow R=\dfrac{1}{2}CE=12,5\left(cm\right)\)
Cho đường tròn (O), dây AB=24cm, dây AC=20cm, góc BAC < 90 độ và điểm O nằm trong
tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8cm.
a. Chứng minh tam giác ABC cân tại C
b. Tính bán kính đường tròn.
cho đường tròn tâm O, dây AB=24cm, AC=20cm. Góc BAC<90độ và O nằm trong góc đó. M là trung điểm AC. khoảng cách từ M đến AB là 8cm.
a) C/m: Tam giác ABC cân tại C
b) Tính bán kính đường tròn tâm O
Trên BC lấy I sao cho IC=IB
Ta có AM=MC=AC/2=20/2= 10 cm
Từ M kẻ MH vuông góc AB. Theo gt, ta được MH=8 cm
Áp dụng Pytago trong tam giác vuông AMH: AH2= AM2 - MH2 = 102 - 82= 36 ----> AH=6 cm
có AM=MC ; IB=IC ---> MI=1/2AB=1/2 .24 =12 cm( đường TB)
Từ I kẻ IK vuông góc AB
có MI// AB( MI là đường trung bình) ; IK//MK (cùng vuông góc AB)
---> MIKH là hình bình hành
---> MI=HK=12 cm; MH=IK=8 cm
BK= AB-AH-HK = 24-6-12=6 cm
Xét tam giác AMH và tam giác BIK:
AH=BK=6
góc AHM= góc BKI= 90O
MH=IK=8
----> tam giác AMH=tam giác BIK(c.g.c)
----> góc MAH= góc IBK (cặp góc tương ứng) hay góc CAB= góc CBA
----> tam giác ABC cân tại C
b) có AM=MC=AC/2=10 cm ; IB=IC= BC/2 ; mà AC=BC (tam giáccân)
----> AM=MC=IB=IC=10 cm
Kéo dài CO cắt AB tại D
tam giác AOC có OA=OC (bán kính) --> tam giác AOC cân tại O
có OM là trung tuyến ---> OM vuông góc AC hay góc OMC=90o
Tương tự với tam giác OCB được OI vuông góc BC hay góc OIC=90o
Xét tam giác vuông OMC và tam giác vuông OIC:
MC=IC=10cm
OC cạnh chung
--->tam giác OMC = tam giác OIC (ch.cgv)
--> góc MCO= góc ICO ---> CO hay CD là phân giác góc ACB của tam giác cân ABC --->
CD vuông góc AB hay góc ADC=90oAD=BD=AB/2 = 12 cmTheo Pytago trong tam giác ACD: CD2= AC2-AD2 = 202-122 =256 ---> CD=16 cm
Đặt OC=OA=X --> OD= CD-OC = 16 - X
Theo Pytago tam giác AOD: AO2= OD2+AD2
<-->X2= (16-X)2 + 122
<--> 162 -32X + X2 +122 - X2=0
<--> 400 - 32X=0
<--> X= -400/-32= 12,5 cm
Vậy bán kính đường tròn bằng 12,5 cm
tại sao bạn không kẻ đường cao CD. Như thế sẽ đỡ mất thời gian chứng minh
Cho đường tròn (O), dây AB=24cm, dây AC=20cm, BAC < 90 độ và điểm O nằm trong
tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8cm.
a. Chứng minh tam giác ABC cân tại C
b. Tính bán kính đường tròn.
Cho đường tròn tâm O. Dây AB=24cm, dây AC=20cm, góc BAC <90°. Gọi M là trung điểm AC. Biết MO =8cm.
a) Chứng minh ∆ABC cân tại C. b) Tính bán kính của đường tròn tâm O.
a) Xét ΔOAB có OA=OB(=R)
nên ΔOAB cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔOAB cân tại O(cmt)
mà OC là đường cao ứng với cạnh đáy AB(OH⊥AB, C∈OH)
nên OC là đường phân giác ứng với cạnh AB(Định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)
Xét ΔAOC và ΔBOC có
OA=OB(=R)
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)(cmt)
OC chung
Do đó: ΔAOC=ΔBOC(c-g-c)
⇒\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{OAC}=90^0\)(CA là tiếp tuyến của (O) có A là tiếp điểm)
nên \(\widehat{OBC}=90^0\)
hay CB⊥OB tại B
Xét (O) có
OB là bán kính
CB⊥OB tại B(cmt)
Do đó: CB là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)
b) Xét (O) có
OH là một phần đường kính
AB là dây
OH⊥AB tại H(gt)
Do đó: H là trung điểm của AB(Định lí đường kính vuông góc với dây)
⇒\(BH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{24}{2}=12cm\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOBC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền OC, ta được:
\(\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BO^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{12^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{20^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{12^2}-\dfrac{1}{20^2}=\dfrac{1}{144}-\dfrac{1}{400}=\dfrac{1}{225}\)
\(\Leftrightarrow BC^2=225\)
hay BC=15(cm)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔOBC vuông tại B, ta được:
\(OC^2=OB^2+BC^2\)
\(\Leftrightarrow OC^2=15^2+20^2=625\)
hay OC=25(cm)
Vậy: OC=25cm
Cho (O) lấy điểm A. Vẽ các dây AB và AC sao cho góc BAC=60 và O nằm trong góc BAC. Tính số đo cung BC
Xét (O) có
\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
Do đó: \(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BC}\)
=>\(sđ\stackrel\frown{CB}=2\cdot60^0=120^0\)